| *1:電磁力 *2:弱力 *3:強力 | |||
| 1687 | 牛頓 | 提出重力/萬有引力 | |
| 1802 | 約翰·道爾頓 | 提出所有物質是由原子組成的理論 | |
| 1869 | 季米特里·門捷列夫 | 發表元素週期表 | |
| 1873 | 馬克士威 | *1 | 描述電磁力: 發表較完善的馬克士威方程組 |
| 1896 | 亨利·貝可勒爾 | *2 | 發現放射性物質 |
| 1897 | 湯姆森 | 發現原子中有電子, by陰極射線. 認為原子是由質子和被束縛的電子組成的 | |
| 1898 | 拉塞福 | *2 | 發現放射性半衰期. 命名α和β射線 |
| 1909 | 拉塞福 | *3 | 發現有原子核: 拉塞福散射實驗: α粒子可以被大角度散射 |
| 1932 | 查兌克 | 發現中子-原子模型成形: 原子核是由質子和中子組成的，電子在原子核外運動 | |
| *3 | 意識到核力(質子中子如何聚在一起?)無法用重力or電磁力解釋 | ||
| 1934 | 湯川秀樹 | *3 | 預測介子的存在, 作為核力的載體 |
| 1950~ | 發現一堆新粒子 | ||
| 1954 | 楊振寧&米爾斯 | *3 | 引入非交換規範場論, 解釋強交互作用 |
| 1961 | 謝爾登·格拉肖 | *12 | 將弱力和電磁力統一起來考慮，發現電弱交互作用 |
| 1964 | 蓋爾曼|茨威格 | *3 | 夸克模型: 強子分類方案 |
| 1967 | 史蒂文&阿卜杜勒 | 基本粒子理論的標準模型 | |
| 1974 | 丁肇中&伯頓 | 發現J/ψ介子: 底定夸克模型，確認了量子電動力學QCD |
| 單位 | 縮寫 | 換算為公斤 (kg) |
|---|---|---|
| 毫克 | mg | 0.000001 kg |
| 公克 | g | 0.001 kg |
| 公斤 | kg | 1 kg |
| 公噸 | ton（metric） | 1000 kg |
| 台斤 | 台斤 | 0.6 kg |
| 台兩 | 台兩 | 0.0375 kg |
| 盎司 | oz | 0.02835 kg |
| 磅 | lb | 0.4536 kg |
| 英噸 | UK ton | 1016.05 kg |
| 美噸 | US ton | 907.18 kg |
牛頓力學，又稱經典力學，是以艾薩克·牛頓提出的運動定律為基礎的物理學分支，描述了物體在各種力作用下的運動行為。該理論適用於宏觀尺度和低速運動，並在現代物理學發展中奠定了重要基礎。
牛頓力學的核心是三大運動定律：
F = m * a，其中 F
是外力，m 是質量，a 是加速度。牛頓力學適用於以下範疇：
牛頓提出的萬有引力定律描述了兩個質量之間的引力作用：
F = G * (m₁ * m₂) / r²
F 為引力。G 是萬有引力常數。m₁ 和 m₂ 是兩個物體的質量。r 是兩物體之間的距離。儘管牛頓力學在宏觀世界中表現出色，但在以下情況下會失效：
動量是描述物體運動狀態的重要物理量，廣泛應用於經典力學、量子力學和相對論中。
動量是物體質量與速度的乘積，其表達式為：
p = m * v
p 是動量向量。m 是物體的質量。v 是物體的速度向量。在封閉系統中，總動量保持不變，這是物理學中的基本守恆定律：
p_initial = p_final
此定律適用於所有類型的碰撞和相互作用。
角動量是動量與位置向量的叉積，用於描述物體繞中心點旋轉的性質：
L = r × p
L 是角動量。r 是位置向量。p 是動量向量。在高速運動下，經典動量公式需修正為相對論形式：
p = γ * m * v
γ 是洛倫茲因子，γ = 1 / √(1 - v²/c²)。c 是光速。功與能量是物理學中描述物體運動和相互作用的重要概念，廣泛應用於力學、熱力學以及其他領域。
功是力作用在物體上並使其移動的過程中，力與位移的內積：
W = F * d * cos(θ)
W 是功。F 是作用力。d 是位移。θ 是力與位移之間的夾角。K = 0.5 * m * v²
U = m * g * h
E = K + U
功與能量的關係由功-能定理描述：
W = ΔK
這表明作用在物體上的淨功等於其動能的變化。
能量既不會憑空產生，也不會憑空消失，只能從一種形式轉換為另一種形式或從一個系統轉移到另一個系統：
E_initial = E_final
簡諧振盪器（Harmonic Oscillator）是物理學中一個重要的模型，用於描述物體在平衡位置附近受到恢復力作用而進行的簡諧運動。該模型廣泛應用於經典力學、量子力學以及電學等多個領域。
簡諧振盪器的運動由以下二階微分方程描述：
m * (d²x/dt²) + k * x = 0
其中：
m 為物體的質量。k 為彈性常數或力常數。x 為偏離平衡位置的位移。該方程的解為簡諧運動，其位移隨時間變化為正弦或餘弦函數：
x(t) = A * cos(ω * t + φ)
其中：
A 為振幅，表示最大位移。ω = √(k/m) 為角頻率。φ 為初相位，決定初始條件。簡諧振盪器的總能量為動能與勢能的總和，且在沒有阻力的情況下保持恆定：
K = 0.5 * m * v²U = 0.5 * k * x²E = K + U = 0.5 * k * A²實際中，振盪器常受到阻尼或外力的影響：
簡諧振盪器廣泛應用於多個領域，包括：
振動學是研究物體受力後往復運動的科學，主要分析系統的運動規律、振動特性及其對外界的影響。振動分為自由振動、受迫振動與阻尼振動三種類型。
學習振動學需要扎實的數學與力學基礎，建議熟悉微分方程、線性代數及動力學，同時利用工具如MATLAB或ANSYS進行模擬與實驗分析。
碰撞與散射是物理學中描述粒子或物體相互作用的重要現象，廣泛應用於經典力學、量子力學以及高能物理等領域。
m₁ * v₁ + m₂ * v₂ = m₁ * v₁' + m₂ * v₂'。0.5 * m₁ * v₁² + 0.5 * m₂ * v₂² = 0.5 * m₁ * v₁'² + 0.5 * m₂ * v₂'²。散射截面是量化散射過程的一個關鍵物理量，表示目標粒子對入射粒子的影響範圍：
在量子力學中，散射過程由薛丁格方程或量子場論描述，通常通過散射矩陣（S矩陣）計算粒子的初態與末態的轉變概率。
剛體運動是物理學中描述剛體在外力或外力矩作用下運動行為的理論。剛體被定義為一種理想化的物體，其內部任意兩點之間的距離在運動過程中保持不變。
剛體運動可以分為以下兩種主要類型：
剛體運動可以用以下物理量來描述：
剛體運動的總動能包含平移動能與轉動動能：
K₁ = 0.5 * M * v²，其中 M 為剛體的總質量，v 為質心速度。K₂ = 0.5 * I * ω²，其中 I 為剛體相對旋轉軸的轉動慣量，ω 為角速度。K = K₁ + K₂L = I * ω，其中 I 是轉動慣量，ω 是角速度。剛體運動理論在許多工程和物理問題中有著重要應用，包括：
克卜勒問題（Kepler Problem）是天體力學中的一個經典問題，主要研究行星、衛星或其他物體在引力作用下的運動行為。此問題的名稱源自約翰內斯·克卜勒（Johannes Kepler），他提出了描述行星運動的三大定律。
克卜勒問題可以透過萬有引力與牛頓運動定律來描述，這樣能夠預測行星在引力場中的運動行為。數學上，克卜勒問題的運動方程式可以表示為：
F = - (G * M * m) / r²
其中，F 表示引力，G 是引力常數，M 和 m 分別為天體的質量，r 表示兩者之間的距離。
克卜勒問題是天體力學中的核心概念之一，透過克卜勒定律和萬有引力定律的結合，科學家可以精確地描述天體運行的規律。此理論對現代天文學、航天工程和物理學的發展產生了深遠的影響。
拉格朗日動力學是一種以能量為核心的古典力學表述方式，取代牛頓動力學中「力 = 質量 × 加速度」的向量形式。它特別適用於處理複雜坐標系或有約束條件的系統。
在拉格朗日力學中，系統的狀態由一組廣義坐標 qi 表示，而非僅限於直角坐標。這些坐標可以是角度、長度、甚至任意曲線坐標系中的參數。
拉格朗日量定義為系統的動能與位能之差：
L(qi, 𝑞̇i, t) = T - V
每個廣義坐標對應一條運動方程式，稱為歐拉–拉格朗日方程：
d/dt (∂L/∂𝑞̇i) - ∂L/∂qi = 0
這些方程組合起來描述系統的完整動態行為。
單擺：設一長度為 l 的單擺，其角度 θ 為廣義坐標。
帶入拉格朗日方程得：
d/dt (ml²𝜃̇) + mgl sin θ = 0 ⇒ 𝜃̈ + (g/l) sin θ = 0
這即為單擺的非線性運動方程。
拉格朗日力學提供了系統變化「取最小作用量」的觀點，其核心理念與自然界中「最省能量」的原則一致。這也為之後的哈密頓力學與量子場論打下堅實基礎。
哈密頓-雅可比理論是經典力學的一個重要框架，將動力學問題轉化為偏微分方程的解問題，並在量子力學與現代物理學中具有深遠影響。
dqᵢ/dt = ∂H/∂pᵢdpᵢ/dt = -∂H/∂qᵢqᵢ 和 pᵢ 分別為廣義坐標和廣義動量，H 為哈密頓量。H(qᵢ, ∂S/∂qᵢ, t) + ∂S/∂t = 0
其中，S(qᵢ, t) 是作用量函數。作用量函數 S 是哈密頓-雅可比理論的核心，描述了系統的動力學行為。其特徵包括：
dS = ∑(pᵢ dqᵢ) - H dt。哈密頓-雅可比理論與變分原理緊密相關，將作用量極小化的原理應用於經典力學中，並通過偏微分方程形式化。
在某些特定情況下，哈密頓-雅可比方程可以通過分離變數法求解。這需要哈密頓量具有特定形式，使得作用量函數 S 可分為時間和空間的函數和：
S(qᵢ, t) = W(qᵢ) - E * t
W(qᵢ) 是空間部分的作用量。E 是系統的能量。引力是自然界四種基本作用力之一，由質量產生並作用於其他質量之上。在牛頓力學中，引力是一種瞬時作用的遠距力；而在愛因斯坦的廣義相對論中，引力則被重新詮釋為時空因質量而彎曲的結果。
根據廣義相對論，質量與能量會改變其周圍的時空幾何。物體在這彎曲的時空中運動時所呈現的軌跡，即為我們觀測到的「引力效應」。這一理論成功地解釋了如水星近日點進動、光線彎曲等觀測現象。
當質量加速度變化時，會使得時空彎曲的變化以波的形式向外傳播，形成引力波。這些波動非常微弱，需極精密儀器才能偵測。常見來源包括雙中子星或黑洞合併。
根據愛因斯坦的理論，引力波以光速（約每秒 299,792,458 公尺）在真空中傳播。這一點在 2017 年 LIGO 和 Virgo 偵測到 GW170817 事件時得到實驗驗證，因為引力波與電磁波訊號幾乎同時抵達地球。
引力波的觀測開啟了天文學的新領域「重力波天文學」，能夠偵測傳統望遠鏡無法觀測的宇宙事件，讓我們更深入理解宇宙的結構與演化。
電磁學是物理學的一個分支，研究電場、磁場及其相互作用。主要的核心概念包括庫侖定律、安培定律、法拉第電磁感應定律以及高斯定律。
電場是由電荷產生的空間特性，描述電荷之間的相互作用。磁場則與移動的電荷或磁性材料相關，表現為磁力的作用範圍。
馬克士威方程組是電磁學的基礎理論，包含四個主要方程：
電磁學廣泛應用於現代科技，包括無線通信、發電、醫學成像（如MRI）、雷達技術以及電子設備設計等。
電磁學研究需要精密的實驗與測量設備，例如電場探針、磁力計以及示波器等，以準確分析電磁現象。
電磁學是理解自然界中基本力之一的重要工具，對科學與工程的發展具有深遠影響。
James Clerk Maxwell 提出的電磁學方程式是一組描述電場和磁場如何相互作用的方程式，這些方程式統一了電和磁的概念，成為現代電磁學的基礎。
1. 高斯定律（電場）:
∮ E • dA = Q_enc / ε₀
2. 高斯定律（磁場）:
∮ B • dA = 0
3. 法拉第電磁感應定律:
∮ E • dl = - dΦ_B / dt
4. 安培-馬克士威定律:
∮ B • dl = μ₀ I_enc + μ₀ ε₀ dΦ_E / dt
Maxwell 方程式在無線通信、電力傳輸、光學和各種電磁裝置中發揮著重要作用，幫助我們理解和設計現代電子設備。
安培–馬克士威定律是馬克士威方程組的一部分，用來描述磁場如何由電流與變化的電場產生。其微分形式為：
∇ × B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t
其中：
馬克士威在安培定律中加入了「位移電流」項（μ₀ε₀∂E/∂t），使電磁學理論在數學與物理上完整且自洽。
結合安培–馬克士威定律與法拉第感應定律：
∇ × E = -∂B/∂t
可推導出自由空間中的電磁波方程式。例如對電場 E，其波動方程式為：
∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t²
這是一個標準波動方程，解的形式為傳播速度為 c 的波動函數。
從波動方程中可知，電磁波在真空中的傳播速度 c 為：
c = 1 / √(μ₀ε₀)
代入實驗測得的常數值：
得到：
c ≈ 2.998 × 10⁸ m/s
這正是光速。此結果顯示光本質上是一種電磁波，並且在真空中所有頻率的電磁波皆以相同的速度傳播。
安培–馬克士威定律不僅統一了電學與磁學，也揭示了光的本質，並奠定了現代通訊、光學、與量子電動力學的理論基礎。
冷次定律（Lenz's Law）是電磁感應中的一個基本定律，說明了感應電流的方向與磁場變化之間的關係。
冷次定律指出：「感應電流的方向總是使其產生的磁場反抗引起感應電流的磁場變化。」
這意味著感應電流會試圖抵抗磁通量的增大或減小，以維持系統的穩定性。
ε = -dΦ/dt
ε 是感應電動勢。Φ 是磁通量。t 是時間。渦電流（Eddy Current）是導體內部因磁場變化而誘發出的環狀電流。當導體暴露於變動的磁場中，根據法拉第電磁感應定律，導體內會產生感應電動勢，使自由電子形成封閉迴路的電流，即為渦電流。
渦電流雖然可能造成能量損失，但在許多工程與技術領域中也有極具價值的應用。透過適當設計與控制，可有效利用其特性來達成精密檢測、電磁阻尼與熱能轉換等功能。
熱力學是一門研究能量轉換與物質間能量傳遞的物理學科。其主要關注點在於不同系統如何利用熱量、功等方式來改變其內部的能量狀態。熱力學主要包含四個基本定律，每個定律描述了能量在自然界中轉移和轉化的方式。
熱力學在各種工程學科、自然科學和日常生活中都有廣泛應用。例如，汽車引擎、冰箱和空調等設備都利用了熱力學原理來運作。同時，熱力學也在天文學、生物學、化學等學科中扮演了重要角色。
卡諾循環（Carnot Cycle）是理想熱機的一種理論模型，由尼古拉斯·卡諾提出，用於描述能量轉換的最高效率。
卡諾循環由四個可逆過程組成：
T_H 下吸收熱量 Q_H，氣體等溫膨脹。T_C。T_C 下釋放熱量 Q_C，氣體等溫壓縮。T_H。卡諾循環的效率由以下公式給出：
η = 1 - T_C / T_H
η 是熱機效率。T_H 是高溫熱源的絕對溫度。T_C 是低溫熱源的絕對溫度。該公式表明效率僅取決於熱源的溫差，與工作物質無關。
熱輻射是所有具有溫度的物體所發出的電磁波，源自物體內部粒子的熱運動。即使在真空中，熱輻射仍可傳遞能量，與熱傳導與對流不同。
黑體是一種理想化物體，能完全吸收與發出各種波長的電磁輻射。黑體輻射提供熱輻射研究的基準模型，依據普朗克定律描述其光譜分布。
在熱力學中，當一個物體與其周圍環境達到熱平衡時，其吸收與放出的輻射能量相等。黑體是一種在任何波長下都能完美吸收與放出輻射能的理想系統，用於描述熱輻射在平衡狀態下的性質。
輻射具有熵，且會隨著能量的分布而改變。在熱平衡時，黑體輻射的熵密度可用以下關係表示：
s = (4/3) · (u / T)
其中 s 為熵密度，u 為能量密度，T 為絕對溫度。
黑體輻射的能量密度與溫度的四次方成正比：
u = aT⁴
其中 a 為輻射常數（與斯特藩–玻茲曼常數 σ 有關）。對應的輻射壓力為：
P = u / 3
根據熱力學第二定律，能量總是自高溫流向低溫。在輻射情況中，高溫物體會輻射出較多能量，被低溫物體吸收，直到達成熱平衡。此過程伴隨總熵的增加，符合熵增原則。
若將不同溫度的物體置於完全反射的腔體中，最終它們將透過吸收與發射輻射達成共同的溫度。此系統中的輻射場將趨近於黑體輻射狀態，顯示熱輻射具有實現熱平衡的能力。
在熱機或光電設備中，熱輻射可作為能量轉換的一部分。根據卡諾效率，任何基於熱輻射的能量轉換，其理論最大效率由高低溫之間的溫差決定：
η = 1 - (Tcold / Thot)
這公式限制了太陽能熱機與紅外熱電裝置的最高轉換效率。
普朗克定律描述單位面積、單位時間、單位波長下黑體所發出的能量，其公式為：
E(λ, T) = (2hc² / λ⁵) / (e^(hc / λkT) - 1)
其中 λ 為波長，T 為溫度，h 為普朗克常數，c 為光速，k 為波茲曼常數。
維恩定律指出黑體輻射的最大強度波長與溫度成反比：
λmax = b / T
其中 b 為維恩常數（約為 2.898 × 10-3 m·K）。這解釋了為何高溫物體如太陽呈白色，而低溫物體則偏紅。
該定律指出黑體總輻射能量與其絕對溫度的四次方成正比：
P = σAT⁴
其中 P 為總輻射功率，A 為表面積，σ 為斯特藩–玻茲曼常數。
熱輻射在紅外線熱像儀、恆星光譜分析、太空望遠鏡冷卻系統、與節能建築設計中皆有應用。
流體力學（Fluid Mechanics）是研究流體（液體和氣體）的運動、行為及其與周圍環境相互作用的科學分支。流體力學在物理學、工程學、大氣科學、生物醫學及海洋學等領域中具有重要應用。通過流體力學的分析，我們可以理解和預測各種流體現象，例如飛機的升力、風暴的形成以及管道中的水流。
流體具有連續性和變形性，這些特性使流體在受力後能夠不斷地發生形變並產生流動。流體力學中的基本參數包括：
流體力學可以分為以下幾個主要分支：
流體力學遵循一系列物理定律來描述和分析流體的運動，這些定律包括：
流體力學在現代工程和科學中有著廣泛的應用。以下是一些重要的應用領域：
流體力學是一門研究流體性質及其運動行為的學科。它對於解釋自然界的許多現象至關重要，並在科技和工程的各個領域中發揮著重要作用。
光學（Optics）是物理學的一個分支，主要研究光的性質、行為及其與物質的相互作用。光學涉及光的傳播、反射、折射、干涉、繞射以及偏振等現象。作為一門重要的自然科學學科，光學的理論與應用廣泛影響著科學和技術的發展。
光具有雙重性質，既表現為粒子性，也具有波動性。根據量子理論，光是由稱為光子的粒子組成的；同時根據波動理論，光以波的形式傳播。這種雙重性質使得光在不同的條件下會展現出不同的行為。
光學可以分為以下幾個主要分支：
光學包含許多有趣的現象，這些現象在日常生活和科學實驗中經常出現：
光學在現代科技中有著廣泛的應用。以下是一些主要的應用領域：
光學是一門研究光的性質及其應用的學科。隨著科技的進步，光學在許多領域發揮著越來越重要的作用。
激光光學是研究激光的產生、傳播、與物質相互作用的學科。激光是一種具有高單色性、方向性、高強度和相干性的光源。
激光的產生基於受激輻射的原理，主要過程包括：
根據激光工作物質的不同，可分為以下類型：
激光技術廣泛應用於以下領域：
激光光學的發展方向包括更高效能的激光器設計、超快激光技術、新型激光材料的研發以及量子激光技術的探索。
原秒（attosecond，符號 as）是時間的單位，1 原秒等於 10⁻¹⁸ 秒。原秒光脈衝（attosecond light pulse）是指持續時間在原秒等級的極短脈衝光，主要在極紫外（XUV）或軟 X 射線波段。這是目前已知最短的人造時間尺度光源。
原秒脈衝通常透過高次諧波產生（High-Harmonic Generation, HHG）的非線性光學過程來實現：
由於原秒脈衝持續時間極短，其頻譜範圍極寬（可涵蓋數十甚至數百個電子伏特），屬於寬頻非單色光源。
2023 年諾貝爾物理學獎頒給了三位原秒科學的先驅：Pierre Agostini、Ferenc Krausz 與 Anne L'Huillier，以表彰他們對於原秒光脈衝產生與應用的貢獻。
原秒光脈衝的發展使人類首次能夠觀測並操控電子等亞原子粒子的動態過程，標誌著時間解析度邁入全新極限，是現代超快科學的重要里程碑。
量子力學是物理學的一個分支，用來描述微觀世界中粒子（如電子、光子等）的行為。與經典力學不同，量子力學揭示了粒子具有波粒二象性以及不確定性等特性。
iħ ∂ψ/∂t = Ĥψ。ΔxΔp ≥ ħ/2，表示位置與動量的測量精度限制。量子力學在現代科技中有廣泛的應用，包括：
量子力學儘管非常成功，但仍有未解之謎，例如：
不確定性原理（Heisenberg Uncertainty Principle）是量子力學的基本原理之一，由德國物理學家海森堡於 1927 年提出。該原理指出，某些一對物理量（例如位置與動量）無法同時被精確地測量；測得其中一個量越精確，另一個量的不確定性就越大。
位置 x 與動量 p 的不確定性關係為：
Δx · Δp ≥ ℏ / 2
其中：
不確定性原理亦適用於其他一對共軛變數：
多項量子干涉與散射實驗證實了不確定性原理，如電子繞射、單光子干涉等，顯示粒子無法同時擁有確定的路徑與干涉圖樣。
在經典物理中，理論上可以任意精確地同時測得一個物體的位置與動量。但在量子力學中，由於波動性質，粒子沒有「絕對精確的軌跡」，因此必須以機率方式描述其狀態。
不確定性原理顛覆了經典物理對決定論的信仰，揭示微觀世界本質上的隨機性與限制，是量子力學最具革命性的觀念之一。
狄拉克方程式是由保羅·狄拉克在1928年提出，用來描述自旋為1/2的費米子（如電子）的運動。它是將量子力學和狹義相對論結合在一起的重要方程式。方程式的形式為：
狄拉克方程式：
(iγμ ∂μ - m)ψ = 0
其中：
狄拉克矩陣 γμ 是 4x4 的矩陣。這四個矩陣分別是 γ0 和 γ1, γ2, γ3，對應時間和三個空間維度。常見的表示法是：
γ0 = [ [ 1, 0, 0, 0 ],
[ 0, 1, 0, 0 ],
[ 0, 0, -1, 0 ],
[ 0, 0, 0, -1 ] ]
γ1 = [ [ 0, 0, 0, 1 ],
[ 0, 0, 1, 0 ],
[ 0, -1, 0, 0 ],
[ -1, 0, 0, 0 ] ]
狄拉克方程式實際上是四個聯立的偏微分方程，包含了自旋粒子不同分量的演化。將其寫成矩陣形式時，我們可以得到如下結構：
[ (i ∂t - m) -i(∂xσ1 + ∂yσ2 + ∂zσ3) ] [ ψ1 ]
[ i(∂xσ1 + ∂yσ2 + ∂zσ3) (i ∂t + m) ] [ ψ2 ]
這些聯立方程描述了自旋粒子各分量在時間和空間中的動態變化，並預言了反粒子的存在。這是狄拉克方程的偉大貢獻之一。
在量子力學和量子場論中，狄拉克符號 (Dirac Notation) 及其匕首運算子（dagger operator）為描述量子態轉換和矩陣運算提供了有效的工具。
狄拉克符號包括兩種基本向量形式：
量子態的內積可寫為 ⟨ψ | φ⟩，而外積則表示為 |ψ⟩⟨φ|。
匕首運算子使用符號 †，表示矩陣的共軛轉置。例如，若 A 為矩陣，則其共軛轉置為 A†。對於 Ket 向量 |ψ⟩，其 Hermitian 共軛為 ⟨ψ|。
此符號系統和運算子在量子力學中非常實用，為表達態之間的相互作用提供了簡潔的工具。
量子自旋相干電子關聯是量子力學中研究電子之間關聯效應的一個重要領域，特別是在考慮自旋和量子相干性的情況下，對凝態物理、量子計算以及化學中的電子動力學有重要意義。
±1/2 表示。|↑⟩ 和 |↓⟩。α|↑⟩ + β|↓⟩，其中 α 和 β 是複數係數。路徑積分（Path Integral）是量子物理學中的一種計算方法，用來描述粒子的動態行為。此方法由理查德·費曼（Richard Feynman）提出，將量子力學的問題轉換成統計大量粒子可能路徑的總和，以此計算粒子從一點到另一點的概率振幅。
在量子力學的路徑積分表示中，從時間 t1 到時間 t2 的粒子狀態轉移振幅可表示為所有路徑的總和：
⟨x(t₂)|x(t₁)⟩ = ∫ e^(iS[x]/ħ) Dx
其中，S[x] 表示作用量，ħ 是普朗克常數，Dx 表示對所有可能路徑進行積分。
路徑積分是一種強大的數學工具，用來分析量子粒子的不確定性行為，為量子物理學提供了另一種視角。它在許多現代物理理論中發揮了重要作用，幫助科學家理解微觀世界的複雜性。
標準模型（Standard Model）是現代粒子物理的基礎理論架構，用以描述組成宇宙所有可見物質的基本粒子，以及它們之間的三種基本交互作用：電磁力、弱交互作用與強交互作用（不包含重力）。
標準模型中的基本粒子可分為費米子（組成物質）與玻色子（傳遞力）：
這些粒子是交互作用的媒介：
希格斯玻色子為標準模型中唯一的純量粒子，透過希格斯機制賦予其他粒子質量。
電弱理論將 SU(2) × U(1) 統一起來，描述電磁與弱力的統一來源。
標準模型是一個量子場論，建構於規範對稱 SU(3) × SU(2) × U(1) 上，並透過對稱性與希格斯場的自發破缺來實現粒子的質量生成。
標準模型經歷過數十年高精度實驗驗證，包括 LHC 發現希格斯玻色子、LEP 精確測量 Z 玻色子性質、以及多項強子與輕子對撞機的觀測。
標準模型是當今粒子物理最成功的理論之一，準確描述了微觀世界中粒子的行為與交互作用，雖然尚不完備，卻為後續統一理論（如弦論、超對稱或量子重力）奠定了基礎。
在標準模型中，基本粒子如 W、Z 玻色子與費米子（如電子、夸克）具有質量。然而，若直接在拉格朗日量中加入質量項，會破壞規範對稱性，使量子場論無法自洽。希格斯機制提供一種方法，在不破壞局域規範對稱性的情況下，賦予粒子質量。
希格斯機制的核心是「自發對稱性破缺」（spontaneous symmetry breaking）。某些理論雖然具有對稱性，其真空態（能量最低狀態）卻不遵守該對稱性。
以經典例子說明：一顆球在圓形山谷的中心是對稱的，但它可能會滾到任一方向的低處，最終狀態打破了原本的對稱。
引入一個複數標量場 φ，稱為希格斯場，其勢能為：
V(φ) = μ²|φ|² + λ|φ|⁴，且 μ² < 0
此勢能呈「墨西哥帽」形狀，φ 的真空期望值不為零，即：
⟨φ⟩ ≠ 0
這表示宇宙的真空本身充滿著希格斯場。
當其他粒子場（如 W、Z 玻色子或費米子）與希格斯場耦合時，它們會「感知」到這個非零的真空期望值，從而獲得質量。質量的大小取決於其與希格斯場的耦合強度。
在電弱理論中，W⁺、W⁻ 與 Z 玻色子透過希格斯機制獲得質量，而光子則保持無質量，這說明了電磁力與弱交互作用在高能時可統一為一個理論，但在低能下分化出不同性質。
希格斯場量子化後會產生一個可被觀察的粒子：希格斯玻色子（Higgs boson）。該粒子在 2012 年由 CERN 的 LHC 實驗首次發現，質量約為 125 GeV，是希格斯機制存在的實驗證據。
希格斯機制成功地解釋了質量來源，維持了標準模型中的規範對稱性與重整化性。它是現代粒子物理中不可或缺的理論機制，也是目前對宇宙中物質結構最深層的理解之一。
量子糾纏（Quantum Entanglement）是一種量子力學中的非經典關聯，當兩個或多個粒子以某種方式互動後，其量子態將無法再以單獨各自的狀態來描述，而必須作為整體系統的疊加態。
換言之，對其中一個粒子的觀測結果會即時影響另一個粒子的狀態，即使兩者相隔遙遠。
兩個粒子的糾纏態舉例如下（貝爾態之一）：
|Ψ⟩ = (1/√2)(|↑⟩A|↓⟩B + |↓⟩A|↑⟩B)
其中 A 與 B 為兩個粒子，|↑⟩ 表自旋向上，|↓⟩ 表自旋向下。此狀態表示粒子 A 為↑則 B 必為↓，反之亦然，且無法單獨分離描述。
糾纏系統展現了量子非定域性（nonlocality）：粒子間存在一種超越經典空間距離的關聯。
這並不意味有訊息以超光速傳遞，而是量子狀態本身在數學上呈現整體性。
愛因斯坦、波多爾斯基與羅森於 1935 年提出 EPR 佯謬，認為糾纏揭示了量子力學的不完備，提出應有「隱變數理論」來補足。
愛因斯坦稱這種瞬時關聯為「幽靈般的超距作用（spooky action at a distance）」。
1964 年，John Bell 推導出貝爾不等式，指出若隱變數理論正確，則某些關聯應滿足該不等式。
然而，1970 年代起，包括 Aspect 實驗在內的多項實驗證明貝爾不等式遭違反，證實量子糾纏為真實自然現象。
量子糾纏是量子力學與古典物理分界的核心特徵，挑戰人類對現實性與因果性的傳統觀念，並揭示宇宙中基本粒子之間潛藏的深層連結。
1935 年，愛因斯坦、波多斯基與羅森（EPR）提出思想實驗，質疑量子力學的完備性，認為存在「隱變數」來補足其隨機性。貝爾（John Bell）於 1964 年提出數學形式的 貝爾不等式，指出若自然界遵循局域實在論（local realism），則觀測結果必須滿足某些機率邏輯不等式。
若實驗違反貝爾不等式，則說明自然界不遵循局域實在論，而是如量子力學所預測，粒子間存在非定域的量子糾纏關係。
由法國物理學家 Alain Aspect 主導，首次嚴格驗證貝爾不等式的違反：
荷蘭、奧地利、美國等多個團隊幾乎同時發表實驗，全面關閉過去的兩大主要漏洞：
自 1970 年代以來的實驗顯示：宇宙在深層結構上展現出非定域的特性，糾纏不僅為量子理論之核心，也已成為未來量子科技發展的基礎。
Ising模型是一種在統計物理學中用來描述自旋系統的模型，由德國物理學家恩斯特·伊辛（Ernst Ising）於1925年提出。該模型用於研究磁性材料中自旋的相互作用，特別是在不同溫度下的相變行為。
Ising模型的哈密頓量可以寫成以下形式：
H = -J Σ⟨i,j⟩ sᵢsⱼ - h Σᵢ sᵢ
其中：
Ising模型是統計物理學和凝聚態物理中的基本模型之一。它幫助科學家理解相變、臨界現象和集體行為的基本機制。儘管模型相對簡單，但它提供了對複雜系統深刻的見解，並在多學科中具有廣泛應用。
Ising模型為研究物質中的相互作用提供了一個簡單而有力的工具。透過該模型，我們可以深入理解材料的磁性、相變和臨界行為，並且能將其應用於跨學科的研究中，是現代物理學中的重要理論之一。
固態物質中的原子通常以規則排列形成晶體。晶體結構可分為立方、六方、四方等類型，最常見的是面心立方（FCC）、體心立方（BCC）與六方最密堆積（HCP）。
晶體可視為重複堆疊的基本單位——晶格。每個晶格點可附加一組原子組成「基元」，共同形成晶體的三維結構。
在固體中，電子能級因原子間相互作用產生能帶。導體、半導體與絕緣體的差異主要取決於價帶與導帶之間的能隙。
半導體如矽（Si）具有中等能隙，可透過摻雜控制導電性。N型與P型半導體分別多自由電子與電洞，形成各種電子元件的基礎。
晶體中原子的振動可用聲子（phonon）描述，為熱能傳遞的主要載體。熱導率取決於聲子的散射與傳播特性。
固體的磁性來自原子內部自旋與軌道角動量。常見的磁性類型有鐵磁性、反鐵磁性與順磁性。
某些材料在極低溫下電阻降為零，進入超導狀態。超導體亦可排斥磁場（邁斯納效應），此性質在量子技術與磁浮應用中極為重要。
能帶理論（Band Theory）是固體物理中的一個核心理論，用於解釋導體、半導體與絕緣體等材料的電子性質。它描述了電子在晶體中所能佔據的能量範圍及其分佈。
當大量原子組成晶體時，原子軌域重疊並產生能級分裂，形成連續的能帶（Energy Bands）。最常見的能帶包括：
能帶的解析式通常透過量子力學模型，如緊束縛模型（Tight-binding model）或自由電子模型（Free Electron Model）導出。例如：
E(k) = (ħ²k²)/(2m)
E(k) 是電子的能量。ħ 是約化普朗克常數。k 是波向量。m 是電子的有效質量。E(k) = E₀ - 2t cos(ka)
E₀ 是中心能級。t 是躍遷參數（與原子間耦合強度有關）。a 是晶格常數。非線性系統是指系統的輸出並非簡單與輸入成正比關係。這類系統中，輸入的微小變化可能導致輸出的巨大變化。非線性系統的特徵包括複雜性和多樣性，其應用範疇涵蓋了物理、化學、生物和經濟等多個學科。
非線性方程的例子如：
dx/dt = rx - x²其中，系統行為的穩定性取決於參數 r 的值。
混沌是一種非線性系統的行為模式，指系統對初始條件的極度敏感性。這種行為被稱為「蝴蝶效應」，即一個小的初始變化會對整個系統產生極大的影響。混沌系統無法長期預測，因其具有不可預測性和複雜性。
常見的混沌系統範例包括洛倫茲系統 (Lorenz System)：
dx/dt = σ(y - x)
dy/dt = x(ρ - z) - y
dz/dt = xy - βz
其中，參數 σ、ρ 和 β 控制著系統行為的混沌性。
分形是一種幾何結構，其基本特徵是自相似性，即在不同尺度下的結構重複出現。分形常用於描述自然界中的不規則形狀，如海岸線、山脈和雲朵。
一個常見的分形範例是曼德博集合 (Mandelbrot Set)，其定義為：
z = z² + c其中，c 為複數，迭代後若 z 不趨向無窮，則 c 屬於曼德博集合。
複雜系統（Complex System）是由大量相互作用的組成單元所構成，整體行為難以從單一部分的性質推導而得的系統。其行為常展現出湧現現象（emergence）、非線性關係、自組織等特徵。
系統的整體行為或結構在單一元素中不存在，但由簡單規則與交互作用所產生。例如：
複雜系統難以精確預測，但理解其特性有助於提升系統韌性、預防系統性崩潰、改善決策機制。例如預測金融危機或設計具適應力的城市系統。
複雜系統揭示了自然與人類社會中普遍存在的非線性與交互現象，是 21 世紀跨領域科學與技術研究的重要核心。
雪花曲線（Koch Snowflake）是一種著名的碎形圖案，通過遞迴分割每條邊並增加小細節，使得曲線呈現出雪花般的形狀。
這個雪花曲線碎形圖使用 HTML5 的 <canvas> 元素來繪製。通過遞迴算法，我們可以逐步生成一個類似雪花的圖案，展示了碎形的自相似性。
∂u/∂t = f(u, v) + D₁∇²u ∂v/∂t = g(u, v) + D₂∇²v
Nₜ₊₁ = r * Nₜ * (1 - Nₜ / K)
指數成長模型假設資源無限，族群會無限增長。而邏輯斯模型考慮資源有限，能反映現實中「有限環境下的自我調控成長」。當參數進入高靈敏度區間時，還能揭示混沌系統的本質。
相對論（Relativity）是由阿爾伯特·愛因斯坦於 20 世紀初提出的一套物理理論，對於物理學中時間、空間和重力的理解帶來了革命性的改變。相對論包括兩個主要部分：狹義相對論和廣義相對論。
狹義相對論（Special Relativity）於 1905 年提出，主要處理在光速不變的前提下，不同參考系之間的運動問題。狹義相對論的核心觀點為：
根據狹義相對論的理論推導，物體在接近光速時會產生一系列效應，例如時間膨脹、長度收縮和質量增加。狹義相對論改變了人們對於空間和時間的絕對觀點，並證明它們是互相依存的。
廣義相對論（General Relativity）於 1915 年由愛因斯坦提出，進一步探討重力與加速度的關係。根據廣義相對論，重力並不是傳統所理解的“力”，而是質量對時空的扭曲。當物體具有質量時，會引起周圍時空的彎曲，而其他物體會沿著這些彎曲的時空運動，產生我們所觀察到的重力效應。
廣義相對論的應用範圍極廣，解釋了許多天文現象，如黑洞、引力透鏡、宇宙膨脹等。廣義相對論在實驗上也得到了大量驗證，例如水星軌道的進動和引力紅移現象。
相對論的提出徹底改變了物理學對於時間、空間和重力的基本觀念。它不僅對現代物理學的發展有著深遠影響，也在科技上帶來了許多應用。全球定位系統（GPS）就是一個例子，由於衛星處於高空且以高速運行，根據狹義和廣義相對論的預測，時間會比地球表面的時間稍快，必須加以校正以確保定位精度。
相對論與量子力學並列為現代物理學的兩大基石，前者描述宏觀尺度的運動和引力效應，後者則關注微觀尺度的粒子行為。當前，科學家們仍在研究如何統一這兩個理論，以實現大一統理論。
19 世紀物理學界普遍認為光是一種波動，需依附於「以太」作為傳播媒介。地球在繞太陽運行時，應相對於以太有運動，因此測得的光速應因方向而異。邁克爾遜與莫雷設計實驗以檢驗這一假說。
他們使用邁克爾遜干涉儀，將一束光分成兩束沿互相垂直方向傳播，再經反射後重新合併。若光速因地球相對以太的運動而有差異，則會在干涉圖樣中產生可觀測的偏移。
根據以太假說，光束沿著地球運動方向與垂直方向的傳播時間應不同，導致干涉條紋產生可測位移。轉動干涉儀後應觀察到條紋變化。
經過多次精密測量，邁克爾遜與莫雷皆未能觀察到預期的干涉條紋位移。這表示地球運動未對光速產生可測影響，與以太理論預期相矛盾。
此實驗被認為是物理史上最著名的「負結果實驗」。它間接否定了以太的存在，為愛因斯坦 1905 年提出「狹義相對論」鋪路，其中主張光速在所有慣性參考系中皆為常數，無需假設以太。
從現代理論來看，邁克爾遜–莫雷實驗證實了光速的不變性，是相對論的核心實驗支持之一，也顯示出時間與空間並非絕對，而是取決於觀察者的運動狀態。
羅倫茲轉換（Lorentz Transformation）是狹義相對論中的核心數學工具，用於描述兩個相對運動的慣性參考系之間的空間與時間變換關係。
當兩個慣性參考系以速度 v 沿 x 軸相對運動時，羅倫茲轉換用來保持光速 c 在所有參考系中皆為常數，並確保物理定律在不同參考系中具有相同形式。
假設一個事件在 S 參考系中發生在 (x, t)，而在以速度 v 相對運動的 S' 參考系中，該事件的時空座標為 (x', t')，則：
x' = γ(x - vt)
t' = γ(t - vx/c²)
y' = y
z' = z
其中 γ（伽瑪因子）為：
γ = 1 / √(1 - v²/c²)
閔氏坐標系（Minkowski space）是狹義相對論中的四維時空架構，由數學家閔可夫斯基（Hermann Minkowski）提出。該坐標系結合了三維空間與一維時間，統一描述運動與事件的時空關係。
在閔氏時空中，一個事件的位置由四個分量表示：
x^μ = (ct, x, y, z)
其中 c 為光速，t 為時間，x, y, z 為空間座標。時間乘以光速後具有與空間相同的單位（長度），便於計算。
閔氏時空的幾何由一個非歐幾里得的度規（metric tensor）描述，其標準形式為：
ds² = -c²dt² + dx² + dy² + dz²
或以四維張量形式表示為：
ds² = ημν dx^μ dx^ν
其中 ημν 為閔氏度規張量，其對角元素為 (-1, 1, 1, 1)，其他為 0。此時空間隔 ds² 在所有慣性座標系中為不變量。
根據時空間隔 ds² 的符號，可將事件間關係分為三類：
在閔氏坐標系中，不同慣性觀察者之間的變換由洛倫茲轉換描述。這些轉換保持時空間隔 ds² 不變，確保物理定律在所有慣性參考系中形式相同。
閔氏空間提供了狹義相對論的幾何語言，使時間與空間以統一的方式處理。粒子的世界線（worldline）即為其在時空中的路徑，而光錐（light cone）則決定了可達事件的因果結構。
閔氏坐標系不僅揭示了時間與空間的相對性，也為廣義相對論中彎曲時空的概念奠定了平坦時空的基礎，是現代理論物理不可或缺的數學架構。
雙生子佯謬（Twin Paradox）是狹義相對論中的一個著名思想實驗，用以說明時間膨脹現象。佯謬的核心是：為何兩個在不同運動狀態下的觀察者會對彼此的時間流逝產生不對稱的觀測結果？
假設有一對雙胞胎，一人（A）留在地球上，另一人（B）搭乘接近光速的太空船出發，飛往某處後折返。從 A 的觀點，B 因為處於高速運動，其時間膨脹，返航後應比 A 更年輕。
佯謬的矛盾點在於，根據狹義相對論的相對性原理，B 也可以說自己是靜止的，而是 A 在運動，照理也可以認為 A 的時間較慢。但實際上，這兩者並不對稱。
真正解開佯謬的關鍵在於：B 在旅途中經歷了加速與減速，尤其在返航轉向時，B 不再處於慣性參考系。狹義相對論中，只有處於慣性運動的參考系才具相對性對稱性。因此，B 的時間流逝與 A 並不對等。
若太空人以速度 v 移動時間 t（從地球觀點），則其經過的固有時間（自身手錶所測）為：
τ = t √(1 - v²/c²)
這表示在太空旅行的雙胞胎經歷的時間較短，即返航後會比留在地球的雙胞胎年輕。
雙生子效應並非單純的思想實驗，已被實驗所證實。例如，高速飛行的原子鐘確實相對地面原子鐘走得慢；同樣現象也出現在 GPS 衛星中，必須考慮相對論修正以保持時間準確。
雙生子佯謬顯示時間並非絕對，而是與觀察者的運動狀態有關。這對我們理解時間、運動與因果關係有深遠的影響，是相對論中最直觀且具啟發性的範例之一。
廣義相對論（General Relativity）是阿爾伯特·愛因斯坦於 1915 年提出的理論，用來描述引力如何影響時空的幾何結構。
廣義相對論的核心方程為：
Gμν = (8πG/c⁴) Tμν
Gμν 是愛因斯坦張量，描述時空的彎曲程度。Tμν 是能量動量張量，描述物質與能量的分佈。G 是萬有引力常數，c 是光速。Paul Ehrenfest 在 1909 年提出一個針對狹義相對論的質疑，稱為「Ehrenfest 佯謬」。他考慮一個剛性圓盤以極高角速度繞自身中心旋轉，並探討在狹義相對論下圓盤的幾何性質會如何改變。
狹義相對論中的長度收縮效應指出，物體在其運動方向上會出現尺縮現象。對於旋轉圓盤，邊緣的每一小段在切線方向上高速運動，理應發生尺縮，而圓心則靜止不動。由此 Ehrenfest 問道：
假設圓盤以角速度 ω 旋轉，圓周上某點的切線速度為 v = ωR。根據狹義相對論，圓周應發生尺縮：
L' = L · √(1 - v²/c²)
然而，半徑方向的尺不會縮短，因其方向與運動垂直。如此一來，圓周變短、半徑不變，圓周與半徑的比值將小於 2π，與歐幾里得幾何矛盾。
Ehrenfest 佯謬顯示狹義相對論無法一致描述非慣性（旋轉）系統中的幾何關係，特別是在剛性物體的處理上產生困難。該問題指出：
Ehrenfest 的思想實驗成為進一步研究非慣性座標系與彎曲時空的重要動機。愛因斯坦受到此啟發，進一步發展出廣義相對論，將重力與加速統一處理於彎曲的時空結構中。
在現代物理學中，旋轉圓盤的空間被視為具有非歐幾里得幾何。其圓周長確實不再等於 2πR，而與度規有關。這說明了非慣性系統中時空幾何需依賴更廣義的理論處理，超出狹義相對論的適用範圍。
高分子物理（Polymer Physics）是物理學的一個分支，專注於研究高分子材料的結構、性質、動力學行為及其在各種應用中的物理特性。高分子材料包括塑膠、橡膠、纖維、蛋白質等，其具有獨特的彈性、韌性和熱穩定性，在現代工業和生物醫學中應用廣泛。
高分子是由大量小分子單元（單體）透過化學鍵相互連接形成的長鏈結構。這些單體重複排列，使得高分子具有不同於一般小分子的特性。高分子的性質受其鏈結構、分子量、分子間作用力等因素影響。
高分子物理主要研究高分子的下列幾個方面：
高分子物理使用一系列理論來描述高分子的行為，其中包括：
高分子物理的研究在多個領域中具有重要應用，例如：
高分子物理是一門探索高分子材料特性及行為的學科。隨著新型高分子材料的發展，該領域在技術和科學研究中的地位日益重要。
弦理論是一種旨在統一量子力學與廣義相對論的理論。它假設所有基本粒子並非點狀，而是極其微小的「弦」狀物體。這些弦在空間中振動，產生不同的振動模式，進而表現為不同的粒子性質（如質量和電荷）。因此，弦理論將宇宙中的所有基本力和粒子性質解釋為這些微小弦的不同振動模式。
超弦理論是在弦理論的基礎上進一步發展的理論，並且加入了「超對稱」的概念。超對稱是一種理論假設，認為每種粒子都有一種相對應的「超對稱伴粒子」，這使得超弦理論更具統一性。超弦理論能夠描述的維度數更多，一般包含十維空間，這有助於解決一些弦理論中出現的數學問題，並增強其在物理學中的適用性。
弦理論和超弦理論被認為是「萬有理論」的候選者之一，這意味著它們可能是統一宇宙中所有基本力（重力、電磁力、弱核力和強核力）的一種理論框架。然而，這些理論仍在發展中，尚未完全被實驗證實。若弦理論或超弦理論能得到驗證，將可能改變我們對宇宙結構的理解。